- De echte delers van zijn . Dan is:
-
- De echte delers van zijn . Dus:
-
- Het getal heeft geen echte delers. Daarom is, per definitie: .
- Opmerking
Indien de functie wordt gedefinieerd met behulp van de functie , waarbij de som is van alle delers van , dus als:
-
dan is (inderdaad) .
Voor zijn de opvolgende waarden:[2]
-
De functie s bij bijzondere getallen
bewerken
- Als een priemgetal is, dan is .
- Als een perfect getal is, dan is .
- Als een overvloedig getal is, dan is .
- Als een gebrekkig getal is, dan is .
- Is een macht van , dus , dan is:
-
- En deze eigenschap geldt dus voor elk bijna perfect getal.
Eigenschappen van de functie
bewerken
Als natuurlijke getallen zijn die relatief priem zijn, dan is:
-
- Bewijs
Elke deler van het getal bestaat uit priemfactoren die in zitten en priemfactoren die in zitten. Omdat geen gemeenschappelijke delers hebben, is zo’n te schrijven als , waarbij .
En omgekeerd, elke keuze van een deler van en deler van geeft weer een deler van , namelijk .
Het aantal delers van is daarmee gelijk aan het aantal delers van maal het aantal delers van .
Dan is:
-
Als de priemontbinding is van het natuurlijke getal , waarin verschillende priemgetallen zijn (elk met als exponent), dan is:
-
- Gevolg
Is de priemontbinding van een getal bekend, dan kan , en daarmee dus ook , worden berekend. Evenwel, het ontbinden van erg grote getallen in priemfactoren is niet zo eenvoudig.
- Voorbeeld
Voor is:
- .
Zodat:
-
Dus is: .
De functie , toegepast op , kan ook geïtereerd worden (herhaald worden toegepast). Hierdoor ontstaat de rij:
-
Deze rij wordt de aliquotrij van het getal genoemd.
Voor is:
-
De aliquotrij van is dan: .
Bronnen
- F. Beukers (1998): Getaltheorie. Utrecht: Epsilon Uitgaven; pp. 23-26, pp. 32-39.
- (fr) J.P. Delahaye (2002): Nombres aimables et suites aliquotes. In: Pour la science, no. 292; pp. 98-103.
- M. Looijen (2015): Over getallen gesproken. Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e druk (2016); pp. 112-113.
Noten